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, Le lecteur pourrait être étonné de voir des démonstrations considérées comme élémentaires figurer dans cet article

, C'est que nous avons tenu à le rendre relativement autonome pour éviter des renvois systématiques à la littérature

, La démonstration est très similaire à celle que nous développons dans la partie 3 pour la caractérisation FCD par un argument de connexité, Elle repose, pour beaucoup, sur la connexité des intervalles réels et sur la propriété (BS)

, Dans la figure 1, ainsi que dans les figures 2 et 3, les flèches unidirectionnelles sont des implications, les flèches bidirectionnelles des équivalences

L. Implications, M. Iaf, and M. Iaf, sont immédiates, en appliquant la propriété MAJA à ? et-?. Pour l'implication IAF'? FCD , il est clair que si ?' est nulle, donc positive et négative, ? est à la fois croissante et décroissante

, On peut aussi utiliser la propriété (IE) des segments emboîtés pour cette partie de la démonstration, vol.6, 2008.

, Une démonstration, d'ailleurs plus courte, fait découler cette propriété de l'ensemble formé des théorèmes 2.7 et 2.8 Cette démonstration court-circuite, en quelque sorte, le passage par le théorème de Rolle et l'égalité des accroissements finis

, Voici, d'ailleurs, de bons exemples pour illustrer une des différences entre espaces de vectoriels de dimension finie ou infinie