Cet article contient des remarques sur les polygones croisés et le partage du plan par une droite. Après une introduction sur les parallélogrammes en cinquième et un rappel concernant des propriétés de convexité des demi-plans, il propose deux activités géométriques. La première met en jeu les pieds des bissectrices d'un triangle. La seconde propose une réflexion sur les diverses façons d'imaginer un polygone et sur la conséquence de ces définitions dans la recherche des isométries planes laissant un polygone globalement invariant. Ces deux activités peuvent, par exemple, être exploitées dans un TD de préparation au CAPES.